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L'algoritmo della curva consiste nella ripetizione di un semplice algoritmo:
che genera un elegantissimo frattale.
Partendo da un segmento di determinata lunghezza
dividere il segmento in tre segmenti uguali;
cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che formeranno i due lati di un triangolo equilatero;
Ripetere questi passaggi per ognuno de segmenti.
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In questo modo ad ogni passo la curva diventa più lunga di 1/3, e dato che l'algoritmo si può ripetere per un numero infinito di volte, di conseguenza la lunghezza della curva diventa infinita, mentre la sua superfice interna rimane all'interno di un quadrato con il lato uguale a quello del triangolo di partenza
La curva è conosciuta anche col nome di fiocco di neve, stella, oppure isola di Koch),
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Con un secondo algoritmo, si può seguire il percorso interno del triangolo, anziché quello esterno creando così l'antifiocco di koch.
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Nota qui sopra il profilo dell'immagine num. 12 che forma solo tre grosse protuberanze, mentre la curva di Koch normale ne forma sei leggermente più piccole
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A questo punto ho preso il fiocco di neve normale e l'ho risucchiato all'interno trasformandolo piano piano nell'antifiocco.
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L'animazione della num. 12 rende meglio le varie fasi del cambiamento.
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FRATTALLI E DIMENSIONI FRATTALI
.FRATTALE è il nome dato dal matematico B. Mandelbrot a quegli oggetti che hanno la proprietà di ripresentarsi sempre uguali anche a scale diverse.
In natura per esempio hanno questa caratteristica i cavolfiori romaneschi, se osservate un suo flosculo noterete che è una riproduzione ad una scala minore dell'intero cavolfiore, lo stesso effetto si ha con le felci o gli alveoli dei pomoni umani o con un cumolo di nuvole bianche oppure con le dentellazioni delle saette nei fulmini o ancora l'andamento delle coste delle isole o penisole vedi l'Inghilterra, la Norvegia o l'Italia.
Mandelbrot inizialmente notò questa caratteristica osservando l'andamento dei grafici dei prezzi del cotone e la distribuzione dei redditi nella popolazione, i grafici del prezzo del cotone ad un anno, ad un mese o ad un giorno avevano sempre un andamento simile, lo stesso succede con le coste della Gran Bretagna se le osservate alla scala 1:1.000.000 oppure ad 1:100.000 o 1:25.000 avrete difficoltà a percepirne la differenza.
Ma è grazie all'aiuto del computer ed una semplice formula che Mandelbrot è diventato famoso, l'insieme che porta il suo nome è un frattale veramente notevole sia per la sua bellezza, sia per il numero degli ingrandimeti possibili, in seguito sfruttando la caratteristica dei frattali la computer grafica ha realizzato molti sfondi per i videogiochi.
Questa è la simulazione di una possibile linea costiera di un' isola, l'ho ottenuta usando lo stesso procedimento usato per la curva di Koch, ma meno rigido nella misura dei lati e nell'ampiezza degli angoli, perciò è bastato aggiungere un piccolo valore casuale sia alla lunghezza dei segmenti che all'ampiezza degli angoli per ottenere un bordo dell'isolameno schematico e più aderente alla realtà. Questa sotto è una immagine ottenuta con il metodo detto IFS. un metodo illustrato nel prossimo argomento del sito.
La dimensione dei frattali è
frazionaria
infatti la parola (frattale) è stata coniata da Mandelbrot partendo dalla parola latina fractus che significa (interrotto) o (irregolare) per marcare la particolare forma e dimensione di certi oggetti che non presentano le abituali dimensioni che possono essere, una, due o tre, come nelle linee i quadrati ed i cubi che sono intere.Questi oggetti possono avere una dimensione che si situa tra un punto ed una linea ossia tra zero ed uno come ad esempio le polveri frattali, oppure come l'isola di Kock che ha una dimensione tra uno e due, ma ci sono anche dimensioni situate tra il 2 ed il tre, oppure tra la terza e la quarta. La loro dimensione
D
viene calcolata nel modo seguente.Dato che le varie dimensioni sono calcolate allo stesso modo, partiamo dalle dimensioni intere che sono più semplici da esporre
Amettiamo che n sia il numero d'ingrandimenti del lato di un quadrato, se il lato è lungo un metro abbiamo un metro quadrato, se noi raddoppiamo la lunghezza del lato, avremo un altro quadrato di 2x2 ma il nuovo quadrato sarà formato da quattro quadrati di un metro,
La dimensione D per un quadrato è uguale a:
log(n^2)/log(n)
che significa : - log (numero dei quadrati)/log(numeri degli ingrandimenti) perciò
D = log (4)/ log(2) = 2 che è la dimensione non solo del quadrato ma anche del rettangolo del triangolo etc.
Se digiti sulla calcolatrice log(4)/ log (2) il risultato sarà = 2 se triplichi il numero di ingrandimenti dovrai digitare log(3^2 =9)/log(3) il risultato sarà sempre = 2
cubo
Per determinare la dimensione D del cubo la formula è: D =log(n^3)/log(n) = 3 perchè se abbiamo un cubo con un lato lungo un metro e ingrandiamo ognuno dei suoi lati per 2 avremo un altro cubo formato da 2x2x2 = 8 cubi originali, anche in questo caso prendiamo il logaritmo del numero dei cubi ottenuti e li dividiamo per il logaritmo del numero degli ingrandimenti :
log(8) / log (2)= 3 anche qui il numero degli ingradimenti non cambia il risultato della formula , se per esempio hai 3 ingrandimenti, avrai log(3^3)/log(3)= 3 = Dimensione dei cubi.
Ricapitolando abbiamo :
D segmento= log N / log(N)=1;
D quadrato= log(N^2) / log(N)=2;
D cubo= log(N^3) / log (N)=3.
Tutto facile quando N = N elevato ad una potenza, ma se proviamo ad osservare cosa succede con la curva di
koch
vediamo che ogni lato del triangolo equilatero di partenza viene diviso in tre parti poi aumentato di 1 diventano perciò 4, se per esempio all'inizio il lato era lungo 30 cm. diventa 40, vale a dire che la lunghezza aumenta di 1/3 .Perciò avremo in questo caso una dimensione D = log(4)/log(3) = 1.261859...
Tutto questo ha come conseguenza che l'isola di koch ha una superfice ben definita, perchè occupa una porzione di piano definito che corrisponde 1,6 volte all'area del triangolo generatore, ma poichè il suo perimetro aumenta di 1/3 ad ogni iterazione avrà lunghezza infinita
Mentre per il triangolo di
Sierpinski
partiamo da un triangolo e collegando il punto centrale di ogni lato otteniamo quattro triangoli, ma poichè il triangolo centrale viene eliminato ricaviamo solo 3 triangoli perciò alla fine dividendo in due i lati, si hanno 3 triangoli dal triangolo di partenza.Ora applicando la formula abbiamo D= log(numero dei triangoli)/log (numero imgrandimenti) =
log(3)/log(2) = 1,584962... che è la dimensione del Triangolo di Sirpinski.
da:- Caos e frattali di R.Devaney e A. Wesley ed. Publishing Compani
Logaritmi
Il logaritmo di un numero.In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso. Per esempio, il logaritmo in base 10 di 10 e = 1, quello di 100 è 2, poiché 10 elevato alla seconda =100 mentre il logaritmo di 1000 in base 10 e 3 perché bisogna elevare 10 alla terza per ottenere 1000, ovvero 10³=1000, mentre i logaritmi naturali, quelli che abbiamo usato per stabilire la dimensione D sono in base (e = 2,718... il numero di Nepero) perciò il logaritmo naturale di (e =2,718..) è ugauale a 1. http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmi
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